gls 是 广义最小二乘法 的缩写，是 Stata 中进行多元线性回归的一个强大工具，它的核心功能是处理模型中存在的异方差性 和/或自相关性 问题。

什么是 GLS？为什么需要它？

我们回顾一下标准的线性回归模型（OLS, 普通最小二乘法）：

Y = Xβ + ε

OLS 的一个核心假设是误差项的同方差性，即 Var(ε|X) = σ²I,这意味着：

1. 同方差: 对于所有观测值，误差项的方差都是常数 。
2. 无自相关: 不同观测值之间的误差项是相互独立的（协方差为0）。

在现实世界的许多数据中，这个假设可能不成立，导致异方差性 或自相关性。

• 异方差性: 误差项的方差不是一个常数，在研究收入与消费时,高收入人群的消费波动性通常大于低收入人群。
• 自相关性: 误差项在不同时间点或空间单元上相关，这在时间序列数据（如 GDP、股价）和面板数据（如各省份数据）中尤为常见。

OLS 模型存在异方差或自相关，会带来什么后果？

1. 系数估计量仍然是无偏的。
2. 它不再是“最优”的（不再是 BLUE - Best Linear Unbiased Estimator）。
3. 最严重的问题：系数的标准误是有偏的，导致 t 统计量、F 统计量和 p 值不可靠，你可能会得出某个变量显著（p<0.05）,但实际上它并不显著。

GLS 的作用：当误差项的方差-协方差矩阵 已知或可以估计时，GLS 通过对数据进行变换，将一个存在异方差/自相关的模型转换为一个满足 OLS 假设的新模型，从而得到有效（Efficient）且无偏的估计量。

gls 命令的基本语法

gls 命令位于 Stata 的 xt 套件中，因此需要先安装（如果尚未安装）：

ssc install xtgee, replace

基本语法结构如下：

gls depvar [indepvars] [if] [in] [, options]

最关键的部分是 options，它告诉 Stata 如何处理误差项的结构。

gls 命令的核心选项：指定方差-协方差结构

gls 的强大之处在于其 vce() 选项，它允许你灵活地指定误差项的方差-协方差矩阵 的结构,以下是几种最常用的结构：

1 处理异方差性

当数据存在异方差但无自相关时（常见于横截面数据），可以使用 vce(independent) 选项。

语法:

gls y x1 x2, vce(independent)

作用：

• independent 告诉 Stata 假设不同观测值的误差项是相互独立的（无自相关）,但它们的方差可以不同。
• Stata 会使用一种方法（通常是可行的广义最小二乘法, FGLS）来估计每个观测值的独特方差,然后进行加权最小二乘回归。
• 这会得到对异方差稳健的标准误，类似于 reg y x1 x2, vce(robust) 的效果，但 gls 的框架更为通用。

2 处理自相关性（时间序列数据）

当数据是时间序列且存在自相关时，可以使用 vce(ar#) 或 vce(ma#) 选项。

语法 (自回归模型 AR):

gls y x1 x2, vce(ar1) // 假设一阶自相关
gls y x1 x2, vce(ar(1 2)) // 假设一阶和二阶自相关

作用：

• vce(ar1) 假设误差项遵循一阶自回归过程，即 εₜ = ρεₜ₋₁ + uₜ，uₜ 是白噪声。
• Stata 会先估计自相关系数 ，然后对原始数据进行准差分变换：yₜ - ρyₜ₋₁，x₁ₜ - ρx₁ₜ₋₁...，最后对变换后的数据使用 OLS，这就是Cochrane-Orcutt 或 Prais-Winsten 方法。

语法 (移动平均模型 MA):

gls y x1 x2, vce(ma1) // 假设一阶移动平均

作用：

• vce(ma1) 假设误差项遵循一阶移动平均过程，即 εₜ = uₜ + θuₜ₋₁。
• GLS 会找到合适的变换来消除这种 MA 结构。

3 处理同时存在异方差和自相关

这是最复杂也最常见的情况,尤其是在面板数据或时间序列中。

语法 (组合结构):

gls y x1 x2, vce(ar1) independent // AR(1) 误差 + 异方差

或者更简洁的写法：

gls y x1 x2, vce(ar1) // 通常默认允许异方差

作用：

• vce(ar1) 不仅处理了 AR(1) 自相关，其估计过程本身也允许方差在不同观测值之间变化,即同时处理了异方差和自相关。

gls vs. 其他相关命令

Stata 中处理异方差和自相关的命令不止一个,理解它们的区别很重要。

简单来说：

• 如果你只想快速得到对异方差稳健的 p 值，用 reg, vce(robust)。
• 如果你有时间序列数据，担心自相关和异方差，用 newey 或 gls。
• 如果你确信误差是 AR(1) 结构，用 prais 或 gls, vce(ar1)。
• 如果你需要处理非常复杂的误差结构（如面板数据中的组内相关和异方差），gls 是更好的选择。

完整示例

我们使用 Stata 自带的 airline.dta 数据集，该数据集是经典的乘客数量月度数据，存在明显的趋势和季节性,误差很可能存在自相关。

// 1. 加载数据
sysuse airline, clear
// 2. 绘图观察数据
line air, ytitle("Monthly Airline Passengers (1000s)") xtitle("Time")
// 3. 建立简单的 OLS 模型（作为对比）
regress air t
// 查看结果，记下系数和标准误
// 4. 使用 GLS 处理可能的自相关
// 我们假设误差项存在一阶自相关
gls air t, vce(ar1)
// 对比结果：
// 你会发现 "t" 的系数估计值可能会与 OLS 结果略有不同。
// 更重要的是，标准误会发生变化，t 统计量和 p 值也会相应改变。
// GLS 模型的 AIC/BIC 通常会更低，表明模型拟合得更好。
// 5. 使用 GLS 同时处理自相关和异方差
gls air t, vce(ar1) independent
// 对比 "gls air t, vce(ar1)" 和 "gls air t, vce(ar1) independent" 的输出
// 你会发现标准误等结果可能会有细微差别，后者明确允许异方差结构。
// 6. 使用 newey 命令进行对比（时间序列常用）
newey air t, lag(4) // lag(4) 表示处理到4阶自相关
// 比较 newey 和 gls 的结果，它们通常会非常接近，因为两者都是处理时间序列相关性的有效方法。

重要注意事项

1. 模型设定是前提：GLS 只能修正由于误差项违反假设而导致的问题，如果你的模型遗漏了重要的变量、函数形式设定错误（如应该是对数形式而非线性），GLS 也无法得到正确的结果。“垃圾进，垃圾出” (Garbage in, garbage out) 的原则依然适用。
2. vce() 选项的选择：选择正确的 vce() 结构至关重要，这通常基于经济理论、对数据的了解或残差诊断（如使用 predict residuals, residuals 然后对残差进行自相关或异方差检验）。
3. gls vs. xtgee：对于面板数据，xtgee (Generalized Estimating Equations) 是 gls 的一个扩展，专门用于处理面板数据的聚类相关结构（如 exchangeable, ar, stationary 等），如果你的数据是面板数据，xtgee 通常是更自然、更方便的选择。
4. 输出解读：gls 的输出与 regress 类似，但请务必关注底部的 "Wald chi2(1)" 和 "Prob > chi2" 统计量,它们用来检验整个模型的联合显著性。

gls 是 Stata 中一个功能强大且灵活的命令，用于在误差项存在异方差性、自相关性或两者兼有的情况下进行有效的回归分析，它的核心在于通过 vce() 选项精确地指定误差项的方差-协方差结构，虽然 regress, vce(robust) 和 newey 等命令在某些场景下更简单直接，但 gls 提供了一个更通用的框架,是高级计量经济学分析中的重要工具。