在代数中，将一个有理函数分解为更简单的分式（即部分分式分解）是积分和求解微分方程等过程中的重要步骤，而判断一个有理函数是否可以拆成真分式，则是进行部分分式分解的前提条件，所谓真分式，是指分子的次数严格低于分母次数的分式，判别一个有理函数是否可以拆成真分式，本质上就是判断该有理函数本身是否为真分式,或者是否可以通过多项式除法将其转化为一个多项式与一个真分式的和。
给定一个有理函数 ( \frac{P(x)}{Q(x)} )，( P(x) ) 和 ( Q(x) ) 都是关于 ( x ) 的多项式，且 ( Q(x) \neq 0 ),判别其是否可以拆成真分式的步骤如下：
需要明确多项式次数的概念，一个多项式的次数是指其中最高次项的指数，多项式 ( 3x^3 + 2x^2 - 5 ) 的次数为 3，而常数多项式 ( 7 ) 的次数为 0。
比较分子 ( P(x) ) 和分母 ( Q(x) ) 的次数：
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当分子的次数严格低于分母的次数时，即 ( \deg(P(x)) < \deg(Q(x)) )，此时有理函数 ( \frac{P(x)}{Q(x)} ) 本身就是一个真分式，无需进行任何操作，可以直接进行部分分式分解。( \frac{2x+1}{x^2 + 3x + 2} ) 中，分子次数为 1，分母次数为 2，满足 ( 1 < 2 )，因此它是一个真分式,可以直接拆解。
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当分子的次数大于或等于分母的次数时，即 ( \deg(P(x)) \geq \deg(Q(x)) )，此时有理函数 ( \frac{P(x)}{Q(x)} ) 是一个假分式，对于假分式，不能直接进行部分分式分解，必须先通过多项式除法将其化为一个多项式与一个真分式的和，多项式除法的步骤与数字的除法类似，用分子除以分母，得到商式 ( S(x) ) 和余式 ( R(x) )，其中余式的次数严格低于分母的次数，即 ( \deg(R(x)) < \deg(Q(x)) )，假分式可以表示为： [ \frac{P(x)}{Q(x)} = S(x) + \frac{R(x)}{Q(x)} ] ( S(x) ) 是多项式，( \frac{R(x)}{Q(x)} ) 是真分式，只有真分式部分 ( \frac{R(x)}{Q(x)} ) 才能进行进一步的部分分式分解，对于 ( \frac{x^3 + 2x^2 + 3x + 4}{x^2 + 1} )，分子次数为 3，分母次数为 2，由于 ( 3 \geq 2 )，需要进行多项式除法，通过除法得到商式 ( x + 2 )，余式 ( 2x + 2 )，因此可以表示为： [ \frac{x^3 + 2x^2 + 3x + 4}{x^2 + 1} = x + 2 + \frac{2x + 2}{x^2 + 1} ] ( \frac{2x + 2}{x^2 + 1} ) 是真分式,可以对其进行部分分式分解。
为了更清晰地展示判别过程,可以通过下表进行总结：
| 条件 | 有理函数类型 | 是否可直接拆成真分式 | 处理方式 |
|---|---|---|---|
| ( \deg(P(x)) < \deg(Q(x)) ) | 真分式 | 是 | 直接进行部分分式分解 |
| ( \deg(P(x)) \geq \deg(Q(x)) ) | 假分式 | 否 | 先多项式除法，分解为多项式+真分式，再分解真分式 |
需要注意的是，部分分式分解的目标是将真分式分解为若干个更简单的分式之和，这些简单的分式的分母通常是 ( Q(x) ) 的因式或不可约因式的幂，如果 ( Q(x) ) 可以因式分解为 ( (x-a)(x-b) )，那么真分式 ( \frac{R(x)}{Q(x)} ) 可以分解为 ( \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b} ) 的形式，但如果 ( Q(x) ) 包含不可约二次因式（如 ( x^2 + 1 )）,则对应的分式形式会更为复杂。
判别一个有理函数是否可以拆成真分式的核心在于比较分子和分母的次数，只有当分子的次数严格低于分母的次数时，该有理函数才是真分式，可以直接进行拆解；否则，必须先通过多项式除法将其转化为多项式与真分式的和，再对真分式部分进行拆解,这一步骤是确保部分分式分解正确性的关键基础。
相关问答FAQs：
Q1：为什么假分式不能直接进行部分分式分解？
A1：部分分式分解的目标是将复杂分式分解为更简单的、易于积分或求解的分式之和，这些简单分式的分母通常是原分母的因式，而分子的次数必须低于分母的次数（即真分式），如果直接对假分式进行分解，会导致分解后的分式无法满足“分子次数低于分母次数”的基本要求，从而使得分解失去意义或无法进行，必须先将假分式通过多项式除法化为多项式与真分式的和,再对真分式部分进行分解。
Q2：如何快速判断一个有理函数是否为真分式？
A2：快速判断的关键在于直接比较分子和分母多项式的最高次项的次数，具体步骤如下：（1）分别写出分子 ( P(x) ) 和分母 ( Q(x) ) 的多项式表达式；（2）确定 ( P(x) ) 的最高次项的指数，即 ( \deg(P(x)) )；（3）确定 ( Q(x) ) 的最高次项的指数，即 ( \deg(Q(x)) )；（4）比较两者次数：若 ( \deg(P(x)) < \deg(Q(x)) )，则为真分式；若 ( \deg(P(x)) \geq \deg(Q(x)) )，则为假分式，对于 ( \frac{4x^2 - 1}{3x^3 + x} )，分子最高次为 2，分母最高次为 3，因为 ( 2 < 3 ),所以它是真分式。
