ARIMA 模型

在深入 arima 命令之前，先要理解它所拟合的模型——ARIMA 模型，ARIMA 代表 Autoregressive Integrated Moving Average，即自回归积分移动平均模型,它由三个部分组成：

1. AR (p) - 自回归部分：

   • 思想：当前值与其过去 p 期值的线性组合。
   • 公式：y_t = c + φ₁y_{t-1} + φ₂y_{t-2} + ... + φ_p y_{t-p} + ε_t
   • 解释：y_t 依赖于它自己的滞后项 y_{t-1}, y_{t-2}, ..., y_{t-p}。p 是自回归阶数。

2. I (d) - 积分部分：

   • 思想：对原始数据进行 d 阶差分,使其平稳。
   • 解释：如果一个时间序列是非平稳的（有趋势），我们可以通过差分来消除趋势，使其变为平稳序列。d 是差分的阶数。

3. MA (q) - 移动平均部分：

   • 思想：当前值是过去 q 期随机误差项的线性组合。
   • 公式：y_t = c + ε_t + θ₁ε_{t-1} + θ₂ε_{t-2} + ... + θ_q ε_{t-q}
   • 解释：y_t 依赖于过去的“冲击”或“误差”。q 是移动平均阶数。

ar 命令就是专门指当 d=0 和 q=0 时的情况，即只拟合 AR(p) 模型，而 arima 命令是更通用的命令，可以拟合完整的 ARIMA(p, d, q) 模型。

arima 命令的基本语法

arima 命令是 Stata 中进行时间序列分析的核心命令。

arima depvar [indepvars] [if] [in] [, ar(numlist) ma(numlist) arch(numlist) garch(numlist) ... options]

参数说明：

• depvar: 因变量（要建模的时间序列）。
• indepvars: 外生自变量（可选）。
• ar(numlist): 指定 AR 项的阶数。ar(1 2) 表示拟合 AR(1) 和 AR(2) 项。
• ma(numlist): 指定 MA 项的阶数。ma(1) 表示拟合 MA(1) 项。
• ..., options: 其他选项，如 vce(robust)、noconstant 等。

关键选项：

• arima(p, d, q): 这是更直观的指定模型阶数的方式。arima(1, 1, 1) 等价于 ar(1) ma(1) d(1)。
• vce(robust): 使用稳健的标准误。
• noconstant: 模型中不包含常数项。
• predict: 在估计模型后，使用 predict 命令进行预测或获取残差。
  • predict newvar, y: 计算预测值。
  • predict newvar, r: 计算残差。
  • predict newvar, y dynamic(time_constant): 进行动态预测,这在时间序列中非常重要。

ar 命令的语法（简化版）

ar 命令是 arima 的一个封装，语法更简单，专门用于 AR 模型。

ar depvar [arlist] [if] [in] [, options]

• depvar: 因变量。
• arlist: 指定 AR 项的滞后阶数。ar(1/3) 表示包含 AR(1), AR(2), AR(3)。
• options: 常用选项包括 trend（包含时间趋势）、noconstant 等。

完整操作步骤与实例

下面我们通过一个完整的例子来演示如何使用 arima（即 ar 命令的功能）进行时间序列建模。

第1步：加载数据并检查

我们使用 Stata 自带的 wpi1 数据集,这是一个批发物价指数的时间序列。

// 加载数据
webuse wpi1, clear
// 描述数据
describe
summarize wpi
// 绘制时间序列图，观察趋势和波动
tsset wpi // 将 wpi 设为时间序列数据
line wpi, title("Wholesale Price Index over Time") ytitle("WPI")

你会看到 wpi 序列有一个明显的上升趋势，这意味着它很可能是非平稳的。

第2步：平稳性检验

在建模前，必须检验序列的平稳性，常用的是 ADF (Augmented Dickey-Fuller) 检验。

// 对原始序列进行 ADF 检验
dfuller wpi, lag(0) // lag(0) 表示最简单的 ADF 检验

结果解读： ADF 检验的原假设 (H0) 是“序列有一个单位根（即非平稳）”。

• p-value > 0.05，我们不能拒绝原假设,说明序列非平稳。
• p-value < 0.05，我们拒绝原假设,说明序列是平稳的。

对于 wpi，你会得到一个很大的 p-value (0.99 左右),证明它是非平稳的。

第3步：差分使其平稳

既然原始序列非平稳,我们对其进行一阶差分。

// 生成一阶差分序列
gen d_wpi = D.wpi
// 对差分后的序列进行 ADF 检验
dfuller d_wpi, lag(0)

d_wpi 的 p-value 应该会非常小（< 0.01），这表明差分后的序列是平稳的，我们确定 d=1。

第4步：识别 ARMA 模型阶数 (p, q)

平稳后，我们需要确定 AR 和 MA 的阶数，常用工具是自相关函数图和偏自相关函数图。

// 绘制 ACF 和 PACF 图
ac d_wpi, lags(12)
pac d_wpi, lags(12)

图解法识别模型：

• ACF (自相关函数)：ACF 图“缓慢衰减”，则可能存在 AR 结构，ACF 在滞后 q 阶后“截尾”（突然变为 0），则可能存在 MA(q) 结构。

• PACF (偏自相关函数)：PACF 图“缓慢衰减”，则可能存在 MA 结构，PACF 在滞后 p 阶后“截尾”，则可能存在 AR(p) 结构。

• ACF 截尾，PACF 拖尾 → MA(q) 模型

• PACF 截尾，ACF 拖尾 → AR(p) 模型

• 两者都拖尾 → ARMA(p, q) 模型

观察 d_wpi 的 ACF 和 PACF 图，我们可以尝试拟合一个 AR(1) 模型，因为 PACF 在 lag 1 之后可能有一个“截尾”的趋势。

第5步：拟合模型

现在我们使用 arima 命令来拟合模型，因为我们差分了一次，d=1，我们尝试 p=1，q=0。

// 拟合 ARIMA(1, 1, 0) 模型
arima d.wpi ar(1), noconstant

命令解释：

• d.wpi：直接对 wpi 的一阶差分进行建模，这等同于设置 d=1。
• ar(1)：包含一个 AR(1) 项，即设置 p=1。
• noconstant：因为我们是对差分后的序列建模，且差分序列的均值通常接近于0,所以不包含常数项。

结果解读： Stata 会输出系数表,包括：

• ARMA 部分：AR(1) 的系数 AR1。
• 系数的 p-value：p-value < 0.05,说明该系数在统计上是显著的。
• 对数似然值 和 信息准则：AIC 和 BIC，这些值越小，通常说明模型拟合得越好,可用于比较不同模型。

第6步：模型诊断

一个好的模型，其残差应该是白噪声（即不存在自相关），我们再次对残差进行 ADF 检验。

// 保存残差
predict residuals, r
// 对残差进行 ADF 检验
dfuller residuals, lag(0)

如果残差的 ADF 检验 p-value 非常小（< 0.05），我们就可以认为残差是平稳的，即模型已经充分提取了数据中的信息,没有遗漏的自相关结构。

第7步：预测

使用我们拟合好的模型进行预测。

// 进行样本内动态预测
// dynamic(45) 表示从第45个观测值开始使用预测值而非真实值来计算后续预测
predict wpi_hat, y dynamic(45)
// 绘制真实值和预测值的对比图
line wpi wpi_hat, sort
legend(order(1 "Actual WPI" 2 "Predicted WPI"))

这会生成一张图,直观地展示模型的拟合效果。

ar vs. arima

特性	ar 命令	arima 命令
功能	专门拟合 AR(p) 模型	拟合完整的 ARIMA(p, d, q) 模型
语法	ar depvar arlist	arima depvar, ar(#) ma(#) d(#) 或 arima(p, d, q) depvar
灵活性	低，只能处理 AR 模型	高，可处理 AR、MA、ARMA、ARIMA 模型，还可加入外生变量、ARCH/GARCH 效应等
推荐度	不推荐，功能有限	强烈推荐，是 Stata 时间序列分析的标准和强大工具

最佳实践建议

1. 总是从 arima 开始：即使你只想拟合一个 AR 模型，也使用 arima 命令，arima y, ar(1)。
2. 平稳性是前提：永远不要忘记在建模前检验和确保序列的平稳性（通过差分或其它变换）。
3. 模型选择是艺术：ACF/PACF 图是很好的起点，但不要完全依赖它们，尝试几个不同的 (p, q) 组合，并用 AIC/BIC 准则进行比较,选择信息准则值最小的模型。
4. 诊断必不可少：模型拟合后，一定要对残差进行检验，确保它是白噪声,这是判断模型是否有效的最终标准。