追击问题如何列方程解答
追击问题是中学数学及物理运动学中的一类经典题型,其核心在于分析两个或多个运动物体之间的位置关系随时间的变化规律，通过列方程解答追击问题，关键在于抓住“速度差”、“位移关系”和“时间关系”三个核心要素，建立等量关系求解，以下是详细的解题步骤和思路。
理解题意，明确运动过程
首先需要仔细阅读题目,明确以下信息：
- 研究对象：确定参与追击或被追击的物体（如A车、B人等）。
- 运动性质：判断物体是匀速运动、匀变速运动还是其他运动形式，明确初速度、加速度（或加速度为零）等参数。
- 初始条件：确定两物体的初始位置关系（如是否同地出发、是否存在初始距离）、初始时刻的时间差等。
- 临界条件：明确追击成功或相遇的标志（如位置相同、速度相同等），以及追击过程中是否需要考虑限制条件（如物体不能反向、最大速度限制等）。
建立坐标系，设定变量
- 坐标系选择：通常以运动方向为正方向，建立一维坐标系，若为二维运动（如平抛运动），需分别建立x轴和y轴的方程。
- 设定变量：
- 设时间变量为t（通常以运动开始时刻或某一特定时刻为t=0）。
- 设待求量为未知数（如追击时间、初速度等）。
- 用已知量表示各物体的位移或位置坐标,设物体A的初始位置为x₀A，速度为vA；物体B的初始位置为x₀B，速度为vB，则t时刻两者的位置分别为x_A = x₀A + v_A·t（匀速）或x_A = x₀A + v₀A·t + ½aA·t²（匀变速）。
分析位移关系，列方程
追击问题的核心等量关系通常是“追击时两物体位置相同”，根据运动情况，可分为以下几种类型：
同地出发的追击问题
若两物体从同一地点同时出发,同向运动，则追击时位移相同，A车以速度vA匀速行驶，B车以初速度v₀B、加速度aB加速行驶，追击时满足： [ x_A = x_B ] [ vA \cdot t = v{0B} \cdot t + \frac{1}{2} a_B \cdot t^2 ] 整理后得到关于t的一元二次方程，求解时需注意t>0且符合实际物理意义。
不同地点出发的追击问题
若两物体初始位置不同（如A在B前方x₀处），同向运动时，追击条件为A的位移比B多x₀： [ x_A - x_B = x_0 ] A车以速度vA匀速行驶，B车以速度vB（vB > vA）匀速追击，则： [ v_A \cdot t + x_0 = v_B \cdot t ] 解得追击时间t = x₀ / (vB - vA)。
相向而行的相遇问题
若两物体相向运动,相遇时位移之和等于初始距离x₀： [ x_A + x_B = x_0 ] A从左向右以速度vA运动，B从右向左以速度vB运动，则： [ v_A \cdot t + v_B \cdot t = x_0 ] 解得相遇时间t = x₀ / (vA + vB)。
匀变速运动的追击问题
涉及加速度时,需根据运动学公式表达位移，A车以速度vA匀速行驶，B车从静止开始以加速度a加速追击，初始距离为x₀，追击时： [ v_A \cdot t + x_0 = \frac{1}{2} a \cdot t^2 ] 整理为标准方程形式：½a·t² - vA·t - x₀ = 0，求解后需检验判别式及解的合理性。
考虑临界条件，检验解的合理性
追击问题中常存在临界状态,如“刚好追上”、“避免碰撞”等，需结合速度关系分析：
- 刚好追上：两物体位置相同且速度相同（避免B超过A后再次追击）。
- 避免碰撞：两物体位置相同时速度为零或满足安全距离。 若B车追击A车时要求不发生碰撞，则需满足B车追上A车时的速度vB ≤ vA（或根据题目要求的安全距离）。
示例解析
例题：甲车以20 m/s的速度匀速行驶，乙车从同一地点出发，初速度为10 m/s，加速度为2 m/s²，同向追击甲车，求乙车追上甲车的时间。
解析：
- 设追击时间为t,甲车位移x甲 = 20t，乙车位移x乙 = 10t + ½·2·t² = 10t + t²。
- 追击时x甲 = x乙，即20t = 10t + t²，整理得t² - 10t = 0。
- 解得t=0（出发时刻，舍去）或t=10 s。
- 检验：t=10 s时，乙车速度v乙 = 10 + 2×10 = 30 m/s > v甲，符合追击条件。
常见问题与注意事项
- 单位统一：确保所有物理量单位一致（如速度用m/s，距离用m）。
- 方向问题：同向运动速度差取绝对值，反向运动速度和为合速度。
- 多解问题：一元二次方程可能有两个解，需根据题意取舍（如t=0通常舍去）。
- 加速度方向：匀变速运动中加速度方向与速度方向关系需明确（加速或减速）。
相关问答FAQs
Q1：追击问题中，若两物体均做匀加速运动，如何判断能否追上？
A1：设两物体初速度分别为v₁、v₂，加速度分别为a₁、a₂，初始距离为x₀，追击条件为位移方程x₁ = x₂ + x₀有实数解，即v₁t + ½a₁t² = v₂t + ½a₂t² + x₀，整理为(½a₁ - ½a₂)t² + (v₁ - v₂)t - x₀ = 0，判别式Δ = (v₁ - v₂)² + 2(a₁ - a₂)x₀ ≥ 0时有解，若a₁ > a₂且v₁ ≥ v₂，一定能追上；若a₁ < a₂，需满足Δ≥0才可能追上。
Q2：在“避免碰撞”类追击问题中，如何建立不等式模型？
A2：前车以速度v₁匀速行驶，后车以初速度v₂、加速度a减速追击，要求两车距离不小于安全距离d，则需满足：v₂t - ½at² ≤ v₁t + x₀ - d（x₀为初始距离），整理为½at² + (v₁ - v₂)t + (d - x₀) ≥ 0，解该不等式，取t的范围使表达式成立，即避免碰撞的时间区间。
