gls 是 Generalized Least Squares（广义最小二乘法）的缩写，它是 Stata 中用于拟合具有特定误差结构的线性模型的核心命令，与普通的 regress 命令（普通最小二乘法, OLS）相比，gls 的主要优势在于处理异方差性 和自相关性 问题。

gls 命令的核心作用

当线性回归模型的经典假设（特别是同方差和误差项不相关）被违反时，OLS 估计量虽然仍然是无偏的，但它不再是“最优”的（即不再是方差最小的），t 检验和 F 检验的结果也不再可靠。

gls 通过对模型进行变换，使得变换后的模型满足 OLS 的经典假设，从而得到更有效（更精确）的参数估计。

gls 命令的一般语法结构如下：

gls depvar [indepvars] [if] [in] [weight], options

关键部分是 options，它定义了误差结构的模型。

主要 options：定义误差结构

gls 的强大之处在于其灵活的 options，可以指定多种复杂的方差-协方差结构。

a. 处理异方差性

异方差性指误差项的方差不是一个常数,而是随着自变量的变化而变化。

选项: vce(robust) 或 vce(cluster clustvar)

• vce(robust)：也称为异方差稳健标准误，这是最常用和最简单的方法，它不对误差项的方差结构做任何特定假设，只是计算一个“稳健”的方差-协方差矩阵，使得 t 检验和 F 检验在存在异方差时仍然有效。

  
  （图片来源网络，侵删）

  // 使用稳健标准误处理异方差，结果与 regress, vce(robust) 相同
  gls y x1 x2, vce(robust)

• vce(cluster clustvar)：聚类稳健标准误，当数据存在组内相关时使用（学生数据 nested 在学校里，或者同一个家庭有多个人），它允许组内的观测值之间存在相关性，但假设不同组之间是独立的。

  // 假设数据按 "school_id" 分组，计算聚类稳健标准误
  gls y x1 x2, vce(cluster school_id)

b. 处理自相关性

自相关性指误差项在不同观测值之间存在相关性,这在时间序列数据中非常常见。

选项: panel variable 和 time variable

gls 可以处理面板数据中的自相关，你需要先声明数据为面板数据格式。

// 假设我们有面板数据，id 是个体标识，year 是时间
xtset id year
// 使用 Prais-Winsten 或 Cochrane-Orcutt 方法处理一阶自相关
// 这两种方法在 Stata 的 xtgls 命令中更常用，但 gls 也能实现
// Prais-Winsten 方法保留了第一个观测值
xtgls y x1 x2, panels(correlated) corr(ar1)
// 这与下面使用 gls 的语法类似，但 xtgls 是面板数据建模的首选
// gls y x1 x2, panels(correlated) corr(ar1) // 这种写法在较新版本中可能已被整合到 xtgls

注意： 对于时间序列和面板数据的自相关处理，Stata 专门的 xtgls 命令通常更方便、更标准。gls 在这方面更多是作为基础工具。

c. 更复杂的方差结构

gls 允许你指定非常灵活的方差函数，例如方差是某个自变量的幂函数。

选项: varfunc(power varname)

// 假设误差方差与 x1 的平方成正比
gls y x1 x2, varfunc(power x1)

这会估计一个模型,Var(u_i) = σ² * (x1_i)^p，并估计出幂 p。

gls vs. regress：一个核心区别

这是初学者最容易混淆的地方。

关键点： 当你使用 gls, vce(robust) 时，你得到的系数估计值 和使用 regress 得到的是完全一样的！gls 在这里的真正价值在于它提供了更可靠的标准误、t 统计量和 p 值。

实践示例

我们使用 Stata 自带的 auto 数据集进行演示。

示例 1：处理异方差

我们想用 price (价格) 对 mpg (每加仑英里数) 和 weight (重量) 进行回归。

步骤 1：使用 OLS 回归

sysuse auto, clear
reg price mpg weight

查看结果,特别是 mpg 的系数和其 p 值。

步骤 2：使用 gls 计算稳健标准误

// 使用 gls 计算稳健标准误
gls price mpg weight, vce(robust)

对比结果： 你会发现 gls 输出的 price mpg weight 的系数值与 regress 的完全一样，标准误、t 统计量和 p 值可能会不同，如果数据中存在异方差，稳健标准误会更准确。

你也可以用 regress 的等价命令来验证：

// 与上面 gls 命令结果完全相同
reg price mpg weight, vce(robust)

示例 2：处理聚类标准误

假设我们的数据是按 foreign (国内/进口) 分组的，我们担心同一组内的汽车价格误差项相关。

// 使用 gls 计算聚类在 foreign 上的稳健标准误
gls price mpg weight, vce(cluster foreign)
// 与 regress 的等价命令对比
reg price mpg weight, vce(cluster foreign)

同样,系数估计值不变，但标准误会根据聚类相关性进行调整。

重要注意事项和最佳实践

1. 首选 regress + vce() 选项： 对于大多数应用场景（如计算稳健标准误或聚类标准误），直接在 regress 命令后加上 vce() 选项是更常见、更易读的做法。reg y x, vce(cluster id) 比 gls y x, vce(cluster id) 更为 Stata 用户所熟知。
2. 何时使用 gls？
   • 当你需要拟合复杂的方差结构时（如 varfunc(power ...)）。
   • 当你明确想从广义最小二乘法的理论框架出发进行建模时。
   • 在面板数据中,xtgls (基于 gls 的封装) 是处理随机效应和特定相关结构的强大工具。
3. 模型诊断： 在使用 gls 之前，最好先进行异方差性检验，例如使用 estat hettest (在 regress 之后) 或 whitetest (需要安装 whitetest 命令)，这可以帮助你判断是否真的需要稳健标准误。
4. xtgls 是 gls 的延伸： 对于面板数据，请优先学习使用 xtset 和 xtgls。xtgls 是 gls 的一个专门封装，语法更简洁，功能更贴合面板数据分析。

gls 是一个功能强大的底层工具，而 regress 配合 vce() 选项是解决大多数异方差和聚类问题的更直接、更常用的方法，了解 gls 的原理有助于你更深入地理解线性模型，但在日常分析中，灵活运用 regress 的各种 vce 选项往往更为高效。