证明“将军饮马”问题中的路径最短，需要借助数学中的对称原理和两点之间线段最短的公理,以下是详细的证明过程：
问题模型与对称转化
“将军饮马”问题可抽象为：在直线 ( l ) 的两侧有两点 ( A ) 和 ( B )，将军从 ( A ) 出发，必须到河边（直线 ( l )）饮马后再到 ( B )，求使路径 ( A \to P \to B ) 最短的点 ( P ) 的位置。
证明核心步骤：
- 作对称点：作点 ( A ) 关于直线 ( l ) 的对称点 ( A' )。
- 连接线段：连接 ( A'B ) 与直线 ( l ) 的交点即为所求点 ( P )。
证明路径最短
根据对称性，( AP = A'P )，因此路径 ( APB ) 的长度等于 ( A'PB )。
- 公理应用：两点之间线段最短，故 ( A'B ) 是 ( A' ) 到 ( B ) 的最短路径。
- 唯一性：若存在另一点 ( Q ) 在 ( l ) 上，则 ( AQ + QB = A'Q + QB )，由于 ( A'Q + QB \geq A'B )（三角形两边之和大于第三边），仅当 ( Q ) 与 ( P ) 重合时取等号。
( P ) 点使路径 ( APB ) 最短，且路径长度为 ( A'B ) 的长度。
数学验证（表格对比）
| 路径方案 | 路径长度表达式 | 最短性证明 |
|---|---|---|
| ( APB )（对称法） | ( A'B ) | 线段最短，无更优解 |
| 任意点 ( Q ) | ( A'Q + QB ) | ( A'Q + QB > A'B )（( Q \neq P )） |
几何直观解释
通过对称转化，将军从 ( A ) 到 ( B ) 的路径被转化为从 ( A' ) 直接到 ( B ) 的路径，由于对称不改变距离，且直线是两点间的最短路径，( P ) 点必然满足最短条件。
FAQs
问题1：为什么对称法能保证路径最短？
解答：对称法将折线问题转化为直线问题，根据对称性，( AP = A'P )，因此路径 ( APB ) 的长度等于 ( A'PB )，而两点之间线段最短，故 ( A'B ) 是最短路径，其与 ( l ) 的交点 ( P ) 即为最优解。
问题2：如果将军必须在河岸上行走一段固定距离，如何调整解法？
解答：若需在河岸上行走固定距离（如 ( PQ = d )），可将问题转化为：在 ( l ) 上找点 ( P )、( Q ) 使 ( PQ = d )，且 ( AP + PQ + QB ) 最短，此时需先平移 ( B ) 到 ( B' )（使 ( BB' \parallel l ) 且 ( BB' = d )），再作 ( A ) ( l ) 的对称点 ( A' )，连接 ( A'B' ) 与 ( l ) 的交点即为 ( P )，( Q ) 为 ( P ) 沿 ( l ) 方向移动 ( d ) 后的点。
